1．粤＋ ＋ ＝10 在上面的算式中，粤、惠、州、华、罗、庚、金、杯、赛代表1～9这九个不同的数字。请给出一种填数法，使得等式成立。2． 跳绳的时候，可以认为绳子的中间点在同一个圆周上运动。如果小光用0．5秒跳一个“单摇”，用0.6秒跳一个“双摇”，则跳“单摇”时绳中间点的速度和跳“双摇”时绳中间点的速度之比是多少?(说明：“单摇”是脚离地面一次，绳子转一圈；“双摇”是脚离地面一次，绳子转两圈。)3．如图，阴影正方形的顶点分别是大正方形EFGH各边的中点，分别以大正方形各边的一半为直游卜携径向外作半圆，再分别以阴影正方形的各边为直径向外作半圆，形成8个“月牙形”。这8个“月牙形”的总面积为5平方厘米，问大正方形EFGH的面积是多少平方厘米? 4．神伏 两个自然数a，b的最小公倍数等于50，问a＋b有多少种可能的数值?5． 你能在3×3的方格表(如图)中填入彼此不同的9个自然数(每个格子里只填一个数)，使得每行、每列及两条对角线上三个数的乘积都等于2005吗?若能，请填出一例，若不能，请说明理由。 7．已知长方形的长为8，宽为4，将长方形沿一条对角线折起压平，如图所示。求重叠部分(灰色三角形)的面积。8． 开始有三个数为1，1，1，每次操作把其中的一个数换成其他两数的和。问经过10次操作后所得的三个数中，最大数的最大可能值是多少?9． 中国古代的“黑火药”配制中硝酸钾、硫磺、木炭的比例为15∶2∶3。今有木炭50千克，要配制“黑火药”1000千克，还需要木炭多少千克? 10．图中的大正方形ABCD的面积是18平方厘米，灰色正方形MNPQ的边MN在对角线BD上，顶点P在边BC上，Q在边CD上。问灰色正方形MNPQ的面积是多少平方厘米?11．将25块边长为1的正方体积木堆放成一个几何体，如图所示，看谁堆放的几何体的表面积最小?最小的表面积是多少?(说明：这是一道现场动手操作题，每队的4名选手，既要动手，又要动脑，而且要有很好的合作精神。参赛队如果都没得到“最小表面积是54”的堆放法，就以堆放表面积最小的队为胜者。因此，本题以“看谁堆放的几何体的表面积最小?最小的表面积是多少?”来设问) 13．一张面积为7．17平方厘米的平行四边形纸片WXYZ放在另一张平行四边形纸片EFGH上面，如上页右图所示，得出A，C，B，D四个交点，并且AB‖EF，CD‖WX。问纸片EFGH的面积是多少平方厘米?说明理由。14；小于10且分母为36的最简分数共有多少个? 16． 你能用写有数字的卡片 ， ， ， ， ， ， ， 排成两个自然数，使得其中的一个数是另一个数的2倍吗?如果能，请排出一例，如果不能，请说明理由。17．从下图a那样的等边三角形开始，将三角形的每条边三等分，然后以中间的线段为边向外作新的等边三角形，如图b，得到一个“雪花六角形”。接着将“雪花六角形”的12条边的每一条三等分，仍以中间的线段为边向外作新的等边三角形，如图c，得到一个新的“雪花形”。问：图c的面积与图a的面积的比是多少? 18． 构成自然数。的所有数字互不相同，这些数字的乘积等于360。求n的最大值。19． 鹅城西湖落天鹅，一湖一对两鹅多，一湖三只三只少，共落天鹅有几多? (说明：惠州别称“鹅城”，城中的西湖是著名风景区，由丰、鳄、平、菱、南5个湖区组成。题意是说：一个湖区落一对天鹅多两只天鹅，一个湖区落三只天鹅少三只天鹅，问共落有多少只天鹅?) 20、编号为1～9的九位小朋友，胸前都别着一个汉字，依次为：惠、州、西、湖、丰、鳄、平、菱、南，如图所示站在五个圆的标志中，且每个圆中的小朋友的编号的和均为13，请指出别着“丰”字的小朋友的编号最大是几。21． 13位同学参加某项弊迹赈灾捐款，每人的捐款数均为整数元。马小虎很快计算出他们的平均捐款数为64．96元，可惜百分位的数字有误。问：这13位同学的捐款总数是多少元?22．右图中的两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动。开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米。问；当滑块A向下滑到O点时，滑块B滑动了多少厘米? 23．算盘上一左一右列出了两个十进位的数，左边的是个7位数，右边的是个4位数，如图所示，问左边的数除以右边的数的商是多少? 24．如图所示，圆周上的十个点将圆周十等分，连接间隔两个点的等分点，共得出圆的十条弦，它们彼此相交，构成各种几何图形。请回答：图中共有多少个平行四边形? 25． 圆上的100个点将该圆等分为100段等弧，随意将其中的一些点染成红点，要保证至少有4个红点是一个正方形的4个顶点，问：你至少要染红多少个点?26．用数字1，2，3，4，5，6填满一个6×6的方格表，如右图所示，每个小方格只填其中的一个数字。将每个2X 2正方格内的四个数字的和称为这个2×2正方格的“标示数”。问能否给出一种填法，使任意两个“标示数”均不相同?如果能，请举出一例；如果不能，请说明理由。27． 一个考古发现的正多边形残片，如图所示：只用一副学生三角板和一支铅笔为工具，请你判定这个正多边形的边数。(说明：所给正多边形残片中的∠EAB＝∠ZFBA＝∠165°，需要选手动手去量) 28．下面的两条横幅： 中华少年 杯赛联谊 切磋勾股 炎黄子孙 惠州弘志 振兴中华每个字代表一个小于25的非零自然数，不同的字代表不同的数，相同的字代表相同的数。已知这些字代表的34个数的平均值是12丧。问“中华”两个字代表的自然数之和的最大值是多少?答案：1．答案不唯一，写出一个即可。如： 9＋ ＋ ＝10，9＋ ＋ ＝10，9＋ ＋ ＝10， 9＋ ＋ ＝10，7＋ ＋ ＝10， 6＋ ＋ ＝10， ＋ ＋6＝10均为解答。2．答案：3：5分析：设绳中间点运动的圆周的半径为r，则绳子转一圈绳中间点运动了2πr的距离，“单摇”和“双摇”时的速度分别为 和 ，所以速度之比为 ： ＝ ： ＝ ： ＝3：53．答案：10 分析：如图所示，连接AB和CD相交于O，容易由勾股定理和半圆面积公式得到三角形，ACH的面积，即得到三角形AOC的面积等于AH，HC上两个“月牙形”的面积之和。因此，这8个“月牙形”的总面积等于正方形ACBD的面积。 由于这8个“月牙形”的总面积为5平方厘米，而正方形EFGH的面积为正方形ACBD的面积的2倍，所以正方形EFGH的面积等于10平方厘米。 4．答案：8 分析：因为：50=2×5 ，a，b是50的约数，它们只能取1，2，5，10，25，50。不妨设a≥b，当取a＝50时，b＝1，2，5，10，25，50；当取a＝25时，b＝2，10 所以，a＋b共有8种可能的不同数值。 两个自然数a，b的最小公倍数等于50，当a≥b时，a＋b取不同数值可列表如下： 5．答案：59 分析：连接AY，CX，BZ，如图所示，由三角形XYZ的面积等于24，YZ＝2ZC，三角形XZC的面积等于12。 又ZX＝3XA，三角形XZC的面积等于12，所以三角形AXC的面积等于4。三角形AYX的面积等于8。注意到XY＝4YB，三角形ABY的面积等于2。三角形ZBY的面积等于6，三角形CBZ的面积等于3。 所以三角形ABC的面积＝24＋12＋4＋8＋2＋6＋3＝59。 6．答案；不能 分析：如果能填，则填入的彼此不同的9个自然数将是2005的9个彼此不同的约数，然而2005的彼此不同的正约数只有1,5，401，2005这4个，故不能。 7．答案：10分析：如图所示，因为∠EBD＝∠EDB，显然 BE＝DE，AE＝CE设BE＝DE＝x，则 AE＝CE＝8－x由勾股定理得 (8一z) ＋4 =x 解之得x＝5所以，S ＝ •BE•CD＝ ×5×4＝108. 答案：144分析：每次把三个数从小到大排序，再把前面的最小的数换成后面两个数的和，结果为{1，1，1}→{1，1，2}→{1，2，3，}→{2，3，5)→{3，5，8}→{5，8，13}→… 经观察，最大的数构成一个斐波那契(Fibonacci)数列，开始的两个数是1，2，从第三项开始，每个数是前面两个数的和。因此为 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144 经过lO次操作后，该数列中第11个数是144，即最大数的最大可能值是144。 9．答案：100 分析：由硝酸钾，硫磺，木炭的比例为15：2：3求得，木炭所占的比例为 ，因此，配制1000千克的“黑火药”需要木炭1000× ＝150(千克)，今有木炭50千克，故还需要木炭150千克－50千克＝100千克。 10．答案：4 分析：连接AC交BD于O，作大正方形ABCD的外接正方形EFGH，如图所示，则正方形EFGH的面积是36平方厘米。所以，DB＝AC＝6厘米。易知DM＝MQ＝MN＝NB＝2厘米所以灰色正方形的面积是4平方厘米。 11．答案：54分析：25块边长为1的正方体积木堆放成一个几何体，当小积木自相重合的面最多时表面积最小。设想27块边长为1的正方体积木，其表面积为54(图a)。 现在要去掉2块小积木成为25块，其总表面积不会减少。要使得总表面积最小，发现在一个角处去掉相邻的两块小积木时(图b)，或在两个角上各去掉一块小积木时(图C)，总表面积不变，与边长为3的立方体的表面积相等，为3×3×6＝54。所以堆放25块小积木的最小表面积是54。 12．答案：127 分析：这是一道找规律的速算题。 第1行的数是1；第2行的2个数的和是2；第3行的3个数的和是4；第4行的4个数的和是8；第5行的5个数的和是16；第6行的6个数的和是32；第7行的7个数的和是64。求和：1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＝127。 13．答案：7.17 分析：连接AC，CB，BD，DA，如图所示，因为AB‖EF‖GH，所以ABC的面积是平行四边形AEFB面积的一半，△ABD的面积是平行四边形的AHGB面积的一半，因此四边形ACBD的面积是平行四边形EFGH面积的一半。同理可证，四边形ACBD的面积也是平行四边形WXYZ面积的一半。因此，平行四边形EFGH的面积＝平行四边形WXYZ的面积＝7.17平方厘米 14. 答案：120个分析：设满足题设条件的数为x，则x＝ ，其中0≤n≤9，r取小于36且与36互质的自然数1，5，7，11，13，17，19，23，25，29，31，35，共计12个。所以，小于10且分母为36的最简分数共有lO×12＝120(个)。 15. 答案：32.5 分析：如图所示，过M，N，P，Q分别作长方形ABCD的各边的平行线。易知交成中间的阴影正方形的边长为3厘米，面积等于9平方厘米。设△MQD，△NAM，△PBN，△QCP的面积之和为S，四边形MNPQ的面积等于x，则 解上述方程，得2x=65，所以x=32.5平方厘米。 16．答案：不能 分析：设一个数为a，另一个数为b，依题意a＝2b，则S＝a＋b＝2b＋b＝3b，所以3｜S。但S被3除的余数等于a＋b被3除的余数，等于a被3除的余数与b被3除的余数之和，即等于2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝44被3除的余数，但是这个余数不等于0，矛盾!所以不能用写有数字的卡片 排成两个自然数，使得一个自然数是另一个自然数的2倍。 17．答案：40：27 分析：设图a的等边三角形的面积是l，在图b中，每条边上增加的等边三角形的面积是 ．共增加了3个等边三角形，所以图b的面积和图a的面积的比是 。类似地，图c中外边缘增加的小等边三角形的面积是 ＝ ，共增加了12个小的等边三角形，所以图c的面积是 ＋12× ＝ ＋ ＝ 。 所以，图c的面积和图a的面积比是40：27。 18．答案：95421 分析：360＝2 ×3 ×5＝1×2×4×5×9，所以a的最大值为95421。 19．答案：12只 分析： 方法一：(算术法)由“一湖一对两鹅多”，知天鹅数是2的倍数；由“一湖三只三只少”，知天鹅数是3的倍数。又(2，3) ＝1，可知天鹅数是6的倍数：6，12，18，24，…验算得：共落有12只天鹅。 方法二：(代数法)设天鹅数为x只，落在Y个湖中。则2y＋2＝3y－3，解得y＝5，则x＝2y＋2＝2×5＋2＝12，即共落天鹅12只。 20．答案：8 分析：易知 惠＋州＋西＋湖＋丰＋鳄＋平＋菱＋南＝45 ① 惠＋2×州＋西＋2×湖＋丰＋2×鳄＋平＋2×菱＋南＝13×5＝65 ② ②－①得： 州＋湖＋鳄＋菱＝20 又 湖＋丰＋鳄=13若“丰”＝9，则只能 湖＋鳄＝1＋3此时由③得 州＋菱＝20－1－3＝16 但州、菱都小于9，所以 州＋菱≤8＋7＝15 矛盾!所以“丰”不等于9，“丰”的最大可能值等于8。事实上，惠＝4，州＝9，西＝1，湖＝3，丰＝8，鳄＝2，平＝5，菱＝6，南＝7，合乎要求。所以“丰”的最大值等于8。 21. 答案：844 分析：设这13位同学的捐款总数为x元，则 64.90＜ ＜64.99 所以 843.7＜x＜844.87 由于x为整数，所以x＝844元。 22．答案：10 ． 分析：由AB ＝A0 ＋OB ＝20 ＋15 ＝25 ，可知连杆的长度等于25厘米。当滑块A向下滑到O点时，滑块B距O点的距离是25厘米，故滑块B滑动了25－15＝10(厘米)。 23. 答案：430 分析：左、右边的数分别为12341×10 ，287×10，两数之比为43×10 ＝43×10＝430． 24. 答案：5 分析：连接圆周上的十个等分点的“对径点”，共连接出5条直径，每条直径是一个平行四边形的较长的那条对角线，与一个平行四边形对应。因此图中共有5个平行四边形。 25. 答案：76 分析：如图所示：圆的一对直径AC，BD互相垂直时，则ABCD恰是一个正方形。反过来，如果圆上的四点A，B，C，D恰是一个正方形ABCD的4个顶点，则对角线AC，BD恰是该圆的一对互相垂直的直径。 圆上的100个点将该圆等分为100段等弧，恰有25对互相垂直的直径，由互相垂直的直径的4个端点恰可构成25个不同的正方形。最不利的情形是：每对互相垂直的直径的4个端点中染红3个点，则总计在圆的100个等分点中染红了75个点，其中任意的4个红点都不是一个正方形的4个顶点。这时，我们只要再染一个红点，即染76个红点，而76＝3×25＋1，就必定会出现一个正方形的4个顶点都是红点，因此，要保证至少有一个正方形的4个顶点为红点，至少要将这100个等分点中的76个点染成红点。 26．答案：不能 分析；每个2×2正方格内的四个数字的和最大是24，最小是4，从4至24共有21个不同的数值，但是在6×6的方格表中，共有25个不同的2×2的正方格，也就是有25个“标示数”，由25＞21，根据抽屉原理，必有两个“标示数”相同。 27. 答案：24 分析：利用一副学生用的三角板和一支铅笔，可以量得∠EAB＝90°＋45°＋30°＝165° 由(n一2)×180°＝n×165°得n＝24 或如图所示，延长EA到C，用等腰直角三角板画∠BAD＝45°，再用另一只三角板的较小的锐角量得∠CAD＝30°，∴∠BAC＝45°－30°＝15°。由n×15°＝360°，解得n=24。 28．答案：46 分析：这些字代表的24个自然数的平均值是12 ＝ ，则这24个数的和为302。如果24个汉字分别代表1至24，其总和是 1＋2＋3＋…23＋24＝ ＝300， 因为302－300＝2，“中华”两字各出现了2次，其他字都只出现一次。必有其中一个“中华”由于代替了另外两个不同的汉字，使得总和增加2。 设x和y分别代表“中”和“华”，所代替的两字为u，v，应当有： x＋y＝2＋u＋v． 要使想x＋y最大，只要使u＋v最大。 x＋y≤23＋24—47 u＋v≤47＋2—45 若x＋y＝47，只能取x＝24，y＝23，或z＝23，y＝24．这时u＋v＝45，只有u＝23，v＝22，或u＝24，v=21，会出现y＝u的情况，所以x＋y＝47不能达到。再看x＋y＝46，可取x＝24，y＝22。由u＋v＝44，可取u＝21，v＝23。可见x＋y＝46可以达到。 所以，“中”与“华”所代表的自然数之和的最大值是46。
