解:
记[1,2,3,4,…,12]为1,2,3,4,…,12的最小公倍数,显然它能分别被1到12这12个自然数整除。因此[1,2,3,4,…,12]+1,[1,2,3,4,…,12]+2,…,[1,2,3,4,…,12]+12不但是12个连续的自然数,而且分别能被1到12这12个自然数整除。
由于[1,2,3,4,…,12]=27720,所以门牌号为9的这一家的电话号码是27720×n+9。由题意,27720×n+9能被13整除,即27720×n≡4 mod (13),由27720≡4 mod (13),因此n≡1 mod(13)。从而n的取值为1,14,27,…
(1)当n=1时,27720×1+9=27729为五位数,不合题意。
(2)当n=14时,27720×14+9=388089,符合题意。
(3)当n=27时,27720×27+9=748440+9=748449,首位数字大于6,因此不合题意。
(4)当n>27时,27720×n+9显然比748449更大,更不符合要求。
综上所述,门牌号为9的这一家的电话号码为388089。
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