一、开平方的手动算法 此方法是在高一学万有引力和航天时，因需要大量开平方运算又不能用计算器，而被逼无奈研发的。 开平方的整个过程分为以下几步： （一）分位 分位，意即将一个较长的被开方数分成几段。具体法则是： 1、分位的方向是从低位到高位； 2、每两个数字为一段； 3、分到最后，最高位上可以不满两个数字，但不能没有数字。 如：43046721分位后是43｜04｜67｜21 12321分位后是1｜23｜21 其中，每段中间的竖线在熟练了以后可不必写。 分位以后，其实就能看出开方后的结果是几位数了，如43046721分位后是四段，那么开方结果就是四睁颤位数。 （二）开方 开方的运算过程其实与做除法很类似，都有一个相乘以后再相减的过程。 这里以43046721为例。 分位后是43｜04｜67｜21 运算时从高位到低位，先看前两位43，由于62最接近43而不超过43，因而商（这里找不到合适的字眼，因而沿用除法时的字眼）6，然后做减法（如下图）： 6 ——————————————— 4 3｜0 4｜6 7｜2 1 3 6 ———————— 7 0 4 这里一次落两位，与除法不同。 下面的过程是整个算法中最复杂的部分，称为造数，之所以用这个词是因为算出最后要悉液败减掉的数的过程较为麻烦。 首先，将已商数6乘以2：6×2=12 这里的12不是真正的12，实际上是120，个位上的0之所以空出来是为了写下一个要商的数。 我们不妨假设下一个要商的数为A，我们下面要考虑的问题就是：从0-9中找一个A，使得： 12A×A最接近但不超过上面余下的数704。注意，A在这里代表一个数位，若A=6，那么12A的含义不是12×6，而是126。 以上过程与除法中的试商的过程很类似。 经验证，125×5=625符合要求，因此下一个要商的数就是5。（如下图） 往下依此类推： 65 ×2 ——— 130 1306 × 6 ———— 7836 656 ×2 ——— 1312 13121 × 1 ———— 13121 所以，43046721的算术平方根为6561 从开方的过程中我们可以看出，越到后面，计算量越大，因此，凭我们的计算量，再算一些开不尽的数时，如7的算术平方根，其精确程度是非常有限的。 以上就是开平方的一般方法，请列位指教。 二、开立方的手动算法 此方法是昨天刚刚研发成功的，为了应付在由体积求分子半径时产生的开立方的运算。 开立方的方法与开平方的方法很类似，但要复杂很多，如果不能熟练掌握，倒不如按大脸猫说的方法：凑！当然，熟练掌握以后，比凑的方法是快多了。 开立方的过程分以下几步： （一）分位 与开平方基本一致，只有一点：这次是每三位为一段 （二）开方 这里以41063625为例 第一个要商的数的确定与开平方是类似，只是变成了要找一个数的立方（如下图）： 3 ————————埋凯—————— 4 1｜0 6 3｜6 2 5 2 7 ———————— 1 4 0 6 3 一次落三位！ 下面的造数过程是最麻烦的，流程如下： 1、将已商数乘以3。3×3=9 2、将要商的数乘以3后，向后错一位加在第1步算出的数上： 4×3=12 9 + 12 ——— 102 3、将第2步得出的数乘以已商数：102×3=306 4、将要商的数平方以后，向后错一位加在第3步算出的数上 42=16 306 + 16 ———— 3076 5、将第4步中算出的数乘以要商的数，使它最接近又不超过余下来的数： 3076×4=12304 12304就是我们要造的数，将这个数代回原来的开方式减掉就可以了。 3 4 —————————————— 4 1｜0 6 3｜6 2 5 2 7 ———————— 1 4 0 6 3 1 2 3 0 4 ————————————— 1 7 5 9 6 2 5 有人肯定会问，你怎么知道要商的数就是4？的确，我一开始也不知道，确定要商的数的过程实际上就是类似开平方中的试商的过程，但这个过程比开平方是要繁琐得多。 当做完造数过程的第1步以后，得出了9这个数，由于不知道应该商几，所以，我们可以先假设商0，那么依据第2步，90×3=270。270错位加一个数，等于扩大了10倍还多，由于我们假设商0，由第3步，270变成了2700。这是我们就要看一看2700乘以一个什么数最接近且不超过14063，这个数可能（这里说“可能”的原因从下文可以看到）就是我们要商的数。乍一看5非常合适，但你要考虑到我们在假设商0时少加了多少东西，所以商5可能就超了。经验告诉我们，4和5都有可能，此时我们可先取5为要商的数，然后进行1-5各步，结果发现的数已经超过了14063，因此4就是我们要商的数。 注：这个试商的过程在熟练了以后是一眼就能看出来的。 下面的步骤可依此类推： 34 ×3 ———— 102 + 15 （3×5） ———— 1035 × 34 ———— 4140 3105 ———— 35190 + 25 52 ———— 351925 × 5 ———— 1759625 这里的5是怎么商出来的不用我再说一遍了吧？ 整个流程相当繁琐，丢其中任何一步都可能导致前功尽弃，因此必须要求计算准确。熟练了以后，速度是可以保证的。我曾经把手动开方法和凑数法比较过，前者比后者至少快一倍。 另外，值得注意的是：如果已知结果是整数，那么结果最后一位的确定可不必用以上方式，直接根据立方数末位的特异性就可确定，但前提是对1-9的立方表非常熟悉。1-5的立方表同志们应该都很熟悉，以下几个是不常用的： 63=216 73=343 83=512 93=729 结语：这两种方法可用来准确地进行开平方及开立方的运算，只要有耐心，想算几位就算几位。但开立方的过程实在是很复杂，很可能还存在优化方案，但由于时间紧迫，我没有再考虑其他的方法。同志们谁要是有兴趣，可以使这优化这两个算法，我的方法仅供参考。
