约数的定义? ? ?

定义　　整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a叫b的倍数，b叫a的约数（或因数）。在大学之前，所指的李雀慎一般都是正约数。约数和倍数相互依存，不能单独说某个数是约数或倍数。一个数的约数是有限的。范例　　在自然数的范围内，　　4的约数有：1、2、4。　　6的约数有：1、2、3、6。　　10的约数有：1、2、5、10。　　12的约数有：1、2、3、4、6、12。　　15的约数有：1、3、5、15。　　18的约数有：1、2、3、6、9、18。　　20的约数有：1、2、4、5、10、20。　　注意：一个数的约数包括1及其本身。　　例如:能被24整除的有：1、2、3、4、6、8、12、24。　　所以　　24的约数有：1、2、3、4、6、8、12、24。　　…………………………………………………公因数　　如果一个数c既是数a的因数，又是数b的因数，那么c叫做a与b的公因数。可以表示为(a，b)=c。最大公因数　　两个数的公因数中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数。最大公因数的求法　　1、 枚举法 将两个数的因数分别一一列出，从中找出其公因数，再从公因数中找出最大的一个，即为这两个数的最大公因数。　　例：求30与24的最大公因数。　　30的因数有：1,2,3,5,6,10,15,30　　24的因数有：1,2,3,4,6,8,12,24　　易得其公因数中最大的一个是6，所以30和24的最大公因数是6。　　2、 短除法 短除符号就像一个倒过来的除号，短除法就是先写出要求最大公因数的两个数A、B，再画一个短除号，接着在原本写除数的位置写两个数公有的质因数Z（通常从最小的质数开始），哪敬然后在短除号的下方写出这两个数被Z整除的商a，b，对a，b重复以上步骤，以此类推，直到最后的商互质为止，再把所 求12和18的最大公约数有的除数相乘，其积即为A，B的最大公因数。 短除法（短除法同样适用于求最小公倍数，只需将其所有除数与最后所得的商相乘即可）　　例：求12和18的最大公约数。　　解：用短除法，由左图，易得12和18的最大公约数为2×3=6.。　　3、分解质因数将需要求最大公因数的两个数A，B分别分解质因数，再从中找出A、B公有的质因数，把这些公有的质因数相乘，即得A、B的最大公约数。　　例：求48和36的最大公因数。　　把48和36分别分解质因数：　　48=2×2×2×2×3　　36=2×2×3×3　　其中48和36公有的质因数有2、2、3，所以48和36的最大公因数是 2×2×3=12。　　4、辗转相除法（欧几里得算法）对要求最大公因数的两个数a、b，设b1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公因数成为cd，而非c】　　所以 gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。　　例：求8251和6105的最大公因数。　　考虑用较大数减较小数，求得商和余数：　　8251=6105×1+2146　　6105=2146×2+1813　　2146=1813×1+333　　1813=333×5+148　　333=148×2+37　　148=37×4　　最后除数37是148和37的最大公因数，也就是8251与6105的最大公因数。更相减损术 更相减损术出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。其原文为：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”　　翻译成现代语言就是　　第一步：任意给定两个正整数a、b；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。　　第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。 这个数就是a、b的最大公约数。　　例：求98与63的最大公因数。　　分析：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：　　98-63=35　　63-35=28　　35-28=7　　28-7=21　　21-7=14　　14-7=7　　所以，98和63的最大公约数为7。　　注：以上1、2、3同样适用于求多个自然数的最大公约数。一般地，对自然数n进行分解质因数，设n可以分解为　　n=p(1)^α(1)·p(2)^α*(2)·…·p(k)^α(k)　　其中p(1)、p(2)、…p(k)是不同的质数，α(1)、α(2)、…α(k)是正整数，则形如　　n=p(1)^β(1)·p(2)^β*(2)·…·p(k)^β(k)　　的数都是n的约数，其中β(1)可取a(1)+1个值：0,1,2，…，α(1)；β(2)可取α(2)+1个值：0,1,2,…，α（2）…；β(k)可取a(k)+1个值：0,1,2，…，α(k).且n的约数也都是上述形式，根据乘法原理，n的约数共有　　（α(1)+1）（α(2)+1）…（α(k)+1） （7）　　个。　　式（7）即为求一个数约数个数的公式。