百问九>百科词库>友好矩形

友好矩形

2024-10-07 17:36:58 编辑：zane 浏览量：520次

友好矩形

有三个,以BC为边的矩形的另一边是BC边上的高h1,以AC为边的矩形的另一边是AC边上的高h2,以AB为边的矩形的另一边是AB边上的高h3.由于三角形面积S不变,所以h1=2S/BC,h2=2S/AC,h3=2S/AB.矩形周长分别是

2(2S/BC+BC),2(2S/AC+AC),2(2S/AB+AB),如BC＞AC＞AB＞1,2(2S/AB+AB)最小.如1≥BC＞AC＞AB,2(2S/BC+BC)最小

你最好多用笔画画，实践出真知。我也是下那个可很长时间！

证明如下：

易知，这三个矩形的面积相等，令其为S. 设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则

L1=2S/a+2a，L2=2S/b+2b，L3=2S/c+2c

∴ L1- L2=(2S/a+2a)-(2S/b+2b)=2[a-b-S(a-b)/ab]=2(a-b)(1-S/ab)，

而 ab>S，a>b，∴ L1- L2>0，即L1> L2 .

同理可得，L2> L3 ，∴ L3最小，即矩形ABHK的周长最小.

a=BC>b=AC>c=AB,

S = 0.5ah1 = 0.5bh2.

记

f(x)=2S/x + x, x > 0.

当x > y > 0时,

f(x) - f(y) = 2S/x + x - 2S/y - y = x-y + 2S(y-x)/(xy)

=(x-y)[xy - 2S]/(xy)

xy > 2S时, f(x) - f(y) > 0.

因，2S = ah1,

而h1 < b【锐角三角形中底边上的高小于邻边，（因高是直角三角形的直角边，邻边是直角三角形的斜边）】

因此，2S = ah1 < ab, f(a) - f(b) > 0, f(a) > f(b).

同理，

2S = bh2,

h2 < c.

2S = bh2 < bc, f(b)-f(c)>0, f(b) > f(c).

这样，a>b>c时，总有 f(a) > f(b) > f(c).

由于f(a),f(b),f(c)分别为边BC,AC,AB所对应的友好矩阵的周长。

因此，周长最短的矩阵是三角形的最短边所对应的友好矩形。【是边AB所对应的友好矩形】

BC＞AC＞AB＞√2s（根号2s）时,2(2S/AB+AB)最小。如√2s（根号2s）≥BC＞AC＞AB,2(2S/BC+BC)最小。证明：设AC=x1 AB=x2 则(2S/AC+AC)-(2S/AB+AB)=(x1-x2)(1-2s/x1x2).因为x1-x2＞0而当x2＞√2s时1-2s/x1x2＞0 所以(2S/AC+AC)-(2S/AB+AB)＞0当x2＜√2s时 1-2s/x1x2＜0，所以(2S/AC+AC)-(2S/AB+AB)＜0。同理，可以证明其他的情况。更一般的，设函数f(x)=x+2s/x,假设x1＞x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1-2s/x1x2)，当x1＞x2＞√2s时f(x1)-f(x2)＞0 而当√2s＞x1＞x2＞0时，f(x1)-f(x2)＜0。

大家的答案你一个个看很累的，总共有3个友好矩形，这是确定了的。现在就是要找出这三个里面周长最小的，矩形的周长是长+宽再乘以2，周长最小则长加宽最小，而长和宽分别对应着三角形的边和这条边上的高，显然三角形的面积是一定的，那么也就是说长和宽的乘积是一定的。问题转化成两数乘积一定，求什么时候他们的和最小。有一个不等式里的定理：X+Y>=2?(X*Y).？表示对括号里的式子开方，（根号不好输入只能这样了）等号是在X=Y时取得的，另外 X与Y越接近X+Y的值就越小，因此原题中就是找什么时候长和宽最接近，显然当一个取值过大时另一个就过小，一个过小另一个就过大，因此要找一个比较中庸的值，而BC>AC>AB，因此AC对应的友好矩形周长最小。原问题就得到了解决。

上面的不等式证明蛮简单的，两边平方再看，相信你能理解。

2(2S/BC+BC),2(2S/AC+AC),2(2S/AB+AB),如BC＞AC＞AB＞1,2(2S/AB+AB)最小.如1≥BC＞AC＞AB,2(2S/BC+BC)最小

你最好多用笔画画，实践出真知。我也是下那个可很长时间！我看了应该是对了的。。

我记得面积和周长是有关系的。。。。

什么关系我忘记了。。好像在高二书上有这个。。。

面积不变的时候。。其底边和高不变。。。得到相似三角形。。。从而让边与边产生了联系。。。从而推到出来的。。

你让我讲恐怕我的表述能力也不行。。

对不住。。

但我看了那个答案应该是对的。。。你说得对，这个结论确实是错的。结论应该是如BC＞AC＞AB＞√2s（根号2s）时,2(2S/AB+AB)最小。如√2s（根号2s）≥BC＞AC＞AB,2(2S/BC+BC)最小。证明：设AC=x1 AB=x2 则(2S/AC+AC)-(2S/AB+AB)=(x1-x2)(1-2s/x1x2).因为x1-x2＞0而当x2＞√2s时1-2s/x1x2＞0 所以(2S/AC+AC)-(2S/AB+AB)＞0当x2＜√2s时 1-2s/x1x2＜0，所以(2S/AC+AC)-(2S/AB+AB)＜0。同理，可以证明其他的情况。更一般的，设函数f(x)=x+2s/x,假设x1＞x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1-2s/x1x2)，当x1＞x2＞√2s时f(x1)-f(x2)＞0 而当√2s＞x1＞x2＞0时，f(x1)-f(x2)＜0。 a=BC>b=AC>c=AB,